三余亭

排中律が認められるか否かということは、その対象を実在のものとみなしているかの基準となります。そして、直観主義は、無限に対して非実在者としての態度をとり、その結果無限が関わる領域では排中律を拒否するのです。注意してほしいのですが、一般的に排中律を拒否するわけではありません。実在するもの、有限なものに対しては構わない。ただ、無限がからむと拒否します。(無限論の教室　p176)

典型的な問題は、「ある性質をみたす実数が存在する」ことを証明するときに発生する。対象が有限個なら、それらを一つずつ全部調べれば、「存在するか否か」が確定する。しかし実数は無限にあるから、ひとつずついくつかを調べることはできても、「全部を調べ尽くす」ことはできない。そこで次のような方法がある。
(1)そういう実数を、具体的に提示する。(中略)
(2)そういう実数が「存在しない」と仮定して、矛盾を導く。
(略)ブローエル(ブラウアー)はこの(2)を「直感的な基礎がない」として退けた。(中略)ただ抽象的に「存在しないはずがない」といっただけでは信用できない、というのである。(中略)しかし(2)―いわゆる「非構成的存在証明」を認めないと、「存在しない」とはいえず(「存在しない」と仮定すると矛盾がでる)、かといって「存在する」ともいえない(具体的に構成することが出来ない)場合がでてくる。だから排中律は成り立たない。(不完全性定理　p129-130)

ヒルベルトはこう言っています。『数学者から排中律を奪うのは天文学者から望遠鏡を、ボクサーから拳を奪うようなものだ』そして、無限集合論を『楽園』と称し、『何人たりともカントールの楽園からわれわれを追放することはできない』と大見得をきったのです(無限論の教室　p185)

では「数学は絶対に安全確実といえるか」という問いに対して、ヒルベルトはどう答えたのだろうか。彼は「それは数学的な方法で解決しよう」と提案した。そのためにはまず数学を、数学的な研究の対象として扱いやすいように、きちんと形式化しておかなければならない。(中略)公理化・体系化・形式化を徹底的に推し進め、「数学が安全確実である」ことを数学的にきちんと証明しよう―それが彼の「形式主義」の精神である。(不完全性定理　p131)

形式主義というのは、形式化され純化された公理系とその無矛盾性・完全性を証明するメタ数学の二本立てを提唱するのです。そうするとどうなるか。(中略)排中律がよみがえるのです。(中略)

公理系のレベルだけで考えれば、(中略)排中律を拒否する理由はない、ということです。何かもの言いたげな直観主義者に対しては、いや、君、これはこういうゲームなんだから、と言ってつけいるすきを与えないのです。(中略)直観主義者は不承不承戦いの場をメタ数学に移すわけです。(中略)

メタ数学であるからこそ、排中律は許されるのです。(中略)公理系における証明というのは、公理と推論規則を用いてわれわれが行うであろう、たかだが有限回の式変形のステップにほかなりません。(中略)メタ数学の議論する対象は有限のステップ、たかだがそれを可能無限的に反復するステップでしかない。ならば、排中律をつかってもようござんすね。(無限論の教室　p191-192)

「無矛盾性、完全性などが有限の立場で遠からず証明できるであろう」というヒルベルトの楽観的な期待(不完全性定理　p265)

無限のものがそこにあるのだと考える立場から捉えられた無限は『実無限』と呼ばれ、可能性としてのみ考えられるとされる無限は『可能無限』と呼ばれます。(p33)

πの小数展開は人間が遂行する以前に定まっていて、人間はただそれを見出していくだけだと考えれば、ちょうど『この山のどこかに宝が埋まっている』という予言を確かめるときのように、『πのどこかに7の十個つながりが埋まっているか埋まっていないかどちらかだ』と考えてしまうでしょう。しかし、これはまさに実無限的な考え方です。(中略)しかし、可能無限的な観点からすれば、πというのはその小数展開を順番に作り出していく規則であり、展開されていく小数は、その規則に従って構成されて初めて産声をあげる存在者なのです。(p173-174)

可能無限の立場からはこう言えます。公理系が必要ならば作ってもよい。しかし、完結した公理系など作れっこないのです。無限は完成を拒んでいます。そこからはみ出たものを捉えようとし、捉ええたと思ったときには新たなものがはみ出ていく。(中略)例えばπの小数展開に対して人間が為した有限の展開が、完結した無限小数としてのπの不完全な認識なのではなく、際限のない未完の作業であるように、それはむしろ、永遠の未完成というべきなのです。(p229)